1

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Ⅳ- 3. 일차함수와 일차방정식의 관계

두 일차방정식 [eqn: 2x-3y-6=0]과 [eqn: x+y-a=0]의 그래프가 제 [eqn: 4] 사분면에서 만나도록 하는 상수 [eqn: a]의 값의 범위는?

① [eqn: -3 < a <1]	② [eqn: -3 < a <2]

③ [eqn: -2 < a <3]	④ [eqn: - 1 over 2 < a < 1 over 3]

⑤ [eqn: - 1 over 2 < a <3]

2

두 일차방정식 [eqn: x-3y+3a=0], [eqn: 2x-y=0]의 그래프의 교점을 [eqn: rmA], 일차방정식 [eqn: x-3y+3a=0]의 그래프와 [eqn: y]축의 교점을 [eqn: rmB]라 하자. 점 [eqn: rmA]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: 6]일 때, 점 [eqn: rmA]와 [eqn: x]축에 대하여 대칭인 점 [eqn: rmA']에 대하여 직선 [eqn: rmA'B]의 [eqn: x]절편을 구하시오.

3

두 일차방정식
[eqn: ax+y+b=0],[eqn: cx+y+d=0]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 보기에서 옳은 것을 모두 고르시오. (단, 두 그래프는 [eqn: y]축에서 만난다.)

㈀ [eqn: a <c]	㈁ [eqn: a+b <0]

㈂ [eqn: c+d <0]	㈃ [eqn: b over a < d over c]

4

일차방정식 [eqn: ax-y=3]의 그래프가 두 일차방정식 [eqn: x-2y=6], [eqn: x+y=-3]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: 1:2]로 나눌 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

5

양수 [eqn: a]에 대하여 두 직선 [eqn: y=x+2], [eqn: y=ax+b]가
제 [eqn: 1] 사분면의 한 점 [eqn: rmA]에서 만난다. 직선 [eqn: y=x+2]가 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmB], [eqn: rmC]라 하고 직선 [eqn: y=ax+b]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm D]라 하자. [eqn: rm TRIANGLE COD: TRIANGLE BOC=1:2`],
[eqn: rm TRIANGLE ABO=3 TRIANGLE BOC`]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

6

오른쪽 그림과 같이 세 점 [eqn: rm A LEFT ( -1,~ {7} over {2} RIGHT )],[eqn: rm B(4,~1)], [eqn: rm C(4,~6)]
을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 직선 [eqn: rmAB]와 [eqn: y]축이 만나는 점을 지나면서 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 이등분하는 직선의 방정식을 구하시오.

<정답 및 풀이>

Ⅳ- 3. 일차함수와 일차방정식의 관계

1 ③	2 [eqn: 15 over 11]	3 ㈀, ㈁	4 ④	5 [eqn: a=2], [eqn: b=-2]

6 [eqn: y = 9 over 32 x +3]

1    ③

[eqn: 2x-3y-6=0]에서

[eqn: y = 2 over 3 x -2]

이고 이 그래프는 두 점 [eqn: (3,~0),] [eqn: (0,~-2)]를 지난다.

[eqn: x+y-a=0]에서 [eqn: y = -x+a]이므로

(ⅰ) [eqn: y =-x+a]의 그래프가 점 [eqn: (0,~-2)]를 지날 때

[eqn: x=0], [eqn: y=-2]를 [eqn: y =-x+a]에 대입하면

[eqn: a =-2]

(ⅱ) [eqn: y =-x+a]의 그래프가 점 [eqn: (3,~0)]을 지날 때

[eqn: x=3], [eqn: y=0]을 [eqn: y =-x+a]에 대입하면

[eqn: 0 = -3+a]   [eqn: therefore~a=3]

(ⅰ), (ⅱ)에서   [eqn: -2 <a <3]

2    [eqn: 15 over 11]

방정식 [eqn: 2x-y=0]의 그래프 위의 점 [eqn: rmA]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: 6]이므로

[eqn: rmA (3,~6)]

점 [eqn: rmA]가 [eqn: x-3y+3a=0]의 그래프 위의 점이므로

[eqn: 3-18+3a=0]

[eqn: THEREFORE `a=5]

방정식 [eqn: x-3y+15=0]의 그래프와 [eqn: y]축의 교점 [eqn: rmB]의 좌표는

[eqn: LEFT ( 0,~5 RIGHT )]

점 [eqn: (3,~6)]과 [eqn: x]축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 [eqn: (3,~-6)]이므로 두 점 [eqn: rm A prime LEFT ( 3,~-6 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 0,~5 RIGHT )]를 잇는 직선의 기울기는

[eqn: {5- LEFT ( -6 RIGHT )} over {0-3} =- {11} over {3}]

따라서 직선의 방정식은

[eqn: y=- {11} over {3} x+5]

이므로 구하는 [eqn: x]절편은 [eqn: {15} over {11}]이다.

3    ㈀, ㈁

㈀ [eqn: ax+y+b=0]에서

[eqn: y=-ax-b]

[eqn: cx+y+d=0]에서

[eqn: y=-cx-d]

두 직선의 기울기 [eqn: -a], [eqn: -c]에 대하여

[eqn: -a>-c]   [eqn: THEREFORE `a<c]

㈁ [eqn: y=-ax-b]에서 [eqn: x=1]일 때의 [eqn: y]의 값이 양수이므로

[eqn: -a-b >0]   [eqn: THEREFORE~a+b<0]

㈂ [eqn: y=-cx-d]에서 [eqn: x=1]일 때의 [eqn: y]의 값이 음수이므로

[eqn: -c-d <0]   [eqn: therefore~c+d>0]

㈃ 직선 [eqn: y=-ax-b]의 [eqn: x]절편이 [eqn: - {b} over {a}]이고, 직선 [eqn: y=-cx-d]의

[eqn: x]절편이 [eqn: -{d} over {c}]이므로

[eqn: - {b} over {a} < - {d} over {c}]   [eqn: therefore~ b over a > d over c]

이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈁이다.

4    ④

연립방정식 [eqn: {cases{x-2y=6#x+y=-3}}]의 해를 구하면

[eqn: x=0], [eqn: y=-3]

따라서 두 일차방정식의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형은 오른쪽 그림과 같다.

일차방정식 [eqn: ax-y=3]에서 [eqn: y=ax-3]이므로 이 그래프의 [eqn: y]절편이 [eqn: -3]이고, 이 그래프가 위의 도형의 넓이를 [eqn: 1``:``2]로 나누려면 점 [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )] 또는 점 [eqn: LEFT ( 3,~0 RIGHT )]을 지나야 한다.

따라서 [eqn: ax-y=3]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 3,~0 RIGHT )]을 지날 때, [eqn: a]의 값은

[eqn: 3a=3]   [eqn: THEREFORE `a=1]

5    [eqn: a=2], [eqn: b=-2]

두 점 [eqn: rmB LEFT ( -2,~0 RIGHT )], [eqn: rmC LEFT ( 0,~2 RIGHT )]에 대하여

[eqn: TRIANGLE rm BOC= {1} over {2} TIMES 2 TIMES 2=2]

[eqn: rm TRIANGLE COD: TRIANGLE BOC=1:2]에서 [eqn: TRIANGLE rm COD=1]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES bar{rmOC} TIMES bar{rmOD}=1]

[eqn: bar{rmOC}=2]이므로   [eqn: bar{rmOD}=1]   [eqn: THEREFORE `rmD LEFT ( 1,~0 RIGHT )]

[eqn: rm TRIANGLE ABO=3 TRIANGLE BOC]에서 [eqn: TRIANGLE rmABO=6]이므로 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm OB it}} TIMES {bar{rm AH it}} =6]

[eqn: {bar{rm OB it}} =2]이므로   [eqn: {bar{rm AH it}} =6]

따라서 점 [eqn: rmA]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: 6]이므로   [eqn: 6 = x+2]   [eqn: therefore~x =4]

[eqn: THEREFORE~rm A LEFT ( 4,~6 RIGHT )]

따라서 직선 [eqn: y=ax+b]가 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 4,~6 RIGHT )], [eqn: rm D LEFT ( 1,~0 RIGHT )]을 지나므로

[eqn: 4a+b=6], [eqn: a+b=0]

[eqn: THEREFORE `a=2,~b=-2]

6    [eqn: y = 9 over 32 x + 3]

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 5 TIMES 5= {25} over {2}]

직선 [eqn: rmAB]의 기울기는   [eqn: {1- {7} over {2}} over {4- LEFT ( -1 RIGHT )} =- {1} over {2}]

직선 [eqn: y = - 1 over 2 x + b]가 점 [eqn: (4,~1)]을 지나므로

[eqn: 1 = - 1 over 2 times 4 + b]   [eqn: therefore~b=3]

따라서 직선 [eqn: rmAB]의 방정식은

[eqn: y = - 1 over 2 x + 3], 즉 [eqn: x+2y=6]

직선 [eqn: rmAB]와 [eqn: y]축의 교점을 [eqn: rmD]라 하면

[eqn: rmD` LEFT ( 0,~3 RIGHT )]

이 점을 지나고 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 이등분하는 직선을
[eqn: y=ax+3]이라 하면 이 직선과 선분 [eqn: rmBC]의 교점은

[eqn: rm E` LEFT (it 4,~4a+3 RIGHT )]

[eqn: TRIANGLE rm BDE= {1} over {2} TRIANGLE rm ABC= {25} over {4}]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES 4 TIMES bar{rmBE}= {25} over {4}]   [eqn: THEREFORE ` {bar{rm BE it}} = {25} over {8}]

즉 [eqn: 4a+3-1= {25} over {8}]이므로   [eqn: 4a= {9} over {8}]

[eqn: THEREFORE `a= {9} over {32}]

따라서 구하는 직선의 방정식은   [eqn: y= {9} over {32} x+3]